x+y-1=0, x-y+1=0 এবং y+3=0 সরলরেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি

প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি হলো:

১. \(x + y - 1 = 0\)

২. \(x - y + 1 = 0\)

৩. \(y + 3 = 0\)

এই তিনটি সরলরেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো নির্ণয় করি। শীর্ষবিন্দুগুলো হলো রেখাগুলোর ছেদবিন্দু।

প্রথম ও দ্বিতীয় রেখার ছেদবিন্দু (A):

\(x + y - 1 = 0 \quad (i)\)

\(x - y + 1 = 0 \quad (ii)\)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই:

\((x + y - 1) + (x - y + 1) = 0\)

\(2x = 0\)

\(x = 0\)

\(x\) এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(0 + y - 1 = 0\)

\(y = 1\)

সুতরাং, প্রথম ছেদবিন্দু A = \((0, 1)\)

প্রথম ও তৃতীয় রেখার ছেদবিন্দু (B):

১ নং সমীকরণ: \(x + y - 1 = 0\)

৩ নং সমীকরণ: \(y + 3 = 0 \implies y = -3\)

\(y\) এর মান ১ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(x - 3 - 1 = 0\)

\(x - 4 = 0\)

\(x = 4\)

সুতরাং, দ্বিতীয় ছেদবিন্দু B = \((4, -3)\)

দ্বিতীয় ও তৃতীয় রেখার ছেদবিন্দু (C):

২ নং সমীকরণ: \(x - y + 1 = 0\)

৩ নং সমীকরণ: \(y + 3 = 0 \implies y = -3\)

\(y\) এর মান ২ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(x - (-3) + 1 = 0\)

\(x + 3 + 1 = 0\)

\(x + 4 = 0\)

\(x = -4\)

সুতরাং, তৃতীয় ছেদবিন্দু C = \((-4, -3)\)

ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু হলো A(\(0, 1\)), B(\(4, -3\)), এবং C(\(-4, -3\))।

এখন, রেখাগুলোর ঢাল (slope) নির্ণয় করে কোণের প্রকৃতি যাচাই করি:

প্রথম রেখা (\(x + y - 1 = 0\)) কে \(y = mx + c\) আকারে লিখলে পাই \(y = -x + 1\)। এর ঢাল \(m_1 = -1\)।

দ্বিতীয় রেখা (\(x - y + 1 = 0\)) কে \(y = mx + c\) আকারে লিখলে পাই \(y = x + 1\)। এর ঢাল \(m_2 = 1\)।

তৃতীয় রেখা (\(y + 3 = 0\)) কে \(y = mx + c\) আকারে লিখলে পাই \(y = 0x - 3\)। এর ঢাল \(m_3 = 0\)।

আমরা দেখতে পাচ্ছি, প্রথম রেখা ও দ্বিতীয় রেখার ঢালের গুণফল: \(m_1 \times m_2 = (-1) \times (1) = -1\)।

যেহেতু দুটি রেখার ঢালের গুণফল \(-1\), তাই এই রেখা দুটি পরস্পর লম্ব। এই রেখা দুটি A(\(0, 1\)) বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং, A বিন্দুতে গঠিত কোণটি একটি সমকোণ (90°)।

অতএব, ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

এবার, ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:

AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-3 - 1)^2}\)

\(= \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}\)

AC বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (-3 - 1)^2}\)

\(= \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}\)

BC বাহুর দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-4 - 4)^2 + (-3 - (-3))^2}\)

\(= \sqrt{(-8)^2 + (0)^2} = \sqrt{64} = 8\)

যেহেতু AB = AC = \(\sqrt{32}\), ত্রিভুজটির দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। সুতরাং, ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজও বটে।

উপসংহার:

এই ত্রিভুজটি একইসাথে সমকোণী (কারণ A বিন্দুতে 90° কোণ রয়েছে) এবং সমদ্বিবাহু (কারণ AB এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য সমান)। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে 3 (সমকোণী) এবং 4 (সমদ্বিবাহ) উভয়ই এই ত্রিভুজের সঠিক বৈশিষ্ট্য নির্দেশ করে। সাধারণত, এমন পরিস্থিতিতে প্রশ্নটি অসম্পূর্ণ বা একাধিক সঠিক উত্তর-সংবলিত বলে বিবেচিত হয়।